【Math-Magics魔數】大衛之星趣味數學教學設計分享



本文介紹筆者以正四面體及其對偶結構為主角,所串接設計的創意教學與心得分享。第一代的DIY造型,原是搭配2003年元宵節,遠哲科學教育基金會與中華電信共同合作推出,由筆者協助設計的「八星體」藝數花燈。但在當年印製的四千份一體成型展開圖用磬之後,本課程即「退出江湖」。終於,在今年北區與中區的遠哲冬令科學營活動中,本課程得以藉用〈藝數ing〉的零件,或新開發的菱形零件再度問世。


【教學目的】a.增進立體概念與空間思維。
b.體驗動手操作與團隊合作的學習模式。
c.啟發生活創造的智能。
d.培養數學欣賞的美感。

【教學內容】a.認識並操作以正三角形為元素的組裝變化。
b.察覺並探討生活中的正八面體設計。
c.建構並組裝正四面體自對偶的結構(即正八星體)。
d.藝數Fun手玩~大衛之星DIY及其進階配色觀察。

教學對象國小中高年級以上(含國中、高中)的數學營或教師研習。

【單元時間】90分鐘(約兩節課實施分組操作,每組2人、4人或6人皆可)。

【操作教材】a.三角形幾何組裝教具(至少2人一套24片,若能1人一套最佳)。
b.24片圓內接正三角形或12片菱形零件。
c.正四面體自對偶結構的玩具與魔術方塊等。
【教學流程】
0.課前準備:製作教學ppt.檔、準備教材與正四面體、正八面體、正八星體等模型、玩具。

1.創意六線段:(討論、修正、分享約15分鐘)
提問:6根等長的吸管可以拼組出幾個正三角形?答案種類多多益善。
吸管不能伸縮、折彎或剖半

解答:123468個正三角形。

現象:本題答案不只一種,但學生普遍習慣在給出一、兩種正確答案之後,便自動進入休眠狀態。若能將問題自問自答,則多數簡易的答案應能撥雲見日。其中2個、3個、6個與8個正三角形的答案,可引導學生在最後總結為:2個正三角形為操作元素,依不同的角度或位置層疊所得的各式構圖。

教學:a.經驗裡,內含8個正三角形的大衛之星The David’s Star圖一最左),是較多學生在第一時間反應的答案。據說在與魔法或寶物有關的動漫或電玩遊戲中,常見此一構圖設計。學生多稱之為「六芒星」,意指有六道光芒的星形。此時教師可藉機追問:六芒星出現在哪一個國家的國旗上?順道介紹此一猶太圖騰。
【註】大衛之星另有「索羅門王的封印」之稱,被視為以色列國王(大衛王和索羅門王)的象徵。在《達文西密碼》這部電影中,有描述與大衛之星結構相關的劇情:符號「△」象徵男性,符號「▽」代表女性,而大衛之星的圖像恰好象徵男性與女性的結合。也因此,原小說作者布朗Dan Brown)很富創意地將〈最後的晚餐〉畫中所欠缺的葡萄酒酒杯,解讀為達文西刻意藉由畫中人物的姿態與位置構圖,所呈現的倒三角形缺空,進而藉以暗示耶蘇的後世傳人~劇情中的女主角,此即貫穿整部電影的密碼所在

b.大衛之星的構圖「縮頭縮尾」,即可得6個正三角形的答案(圖一最右)。若可將正三角形的大小變化納入「量變」的考慮,則6個正三角形或8個正三角形的構圖還可平移變化(圖一中)。而通常學生在會了6個或8個正三角形的交織構圖之後,對於3個正三角形的答案(圖二左與中)多不難推敲。


  
(圖一)創意六線段的正三角形複雜構圖。


c.學生落差最大的答案是1個正三角形(圖二右),該答案雖也見學生秒殺反應,但多數學生卻要在百般提醒之後,才恍然大悟此一極簡的盲點答案,而破解本題的簡單算則只需「6÷32」,藉以傳達正三角形的每一邊都要有2根吸管。


   
(圖二)創意六線段的正三角形簡易構圖。


d.2個正三角形的答案構圖不只一種,但不論是橫放的蝴蝶結圖三最左、直立的「沙漏」圖三最右、還是兩個「御飯糰」圖三中,在數學上皆屬「2個正三角形的同一種答案,而「6÷32」也是破解本題的基本算則,藉以傳達每一邊都有1根吸管的正三角形有2個。

  
(圖三)創意六線段的2個正三角形的同類構圖。


e.4個正三角形的平面組成與立體結構的引導說明,以及技術犯規或典型錯誤的類型,詳見文末相關閱讀1~a

【註】5個或7個正三角形的構圖,至今未見。

2.正八星體組裝:(組裝、觀察、推算約30分鐘)
操作:想辦法完成以下不可能的任務:觀察照片,每人利用4片正三角形幾何教具,組裝出一個金字塔放在桌上。

教學:「金字塔是   角錐。」學生面對此一數學考卷上制式的「生活化考題」時,答對率普遍都很高,但在動手操作時,多因不習慣手腦並用,而不設防地給出4片正三角形所能拼組的唯一封閉結構~三角錐。偶有少數學生會在第一時間反應金字塔是四角錐,質疑本題缺少正方形零件,但在引導之後,多能從原先的「無解」變出一個沒有正方形底面的金字塔放在桌上。

提問:若將兩個金字塔一上一下正反貼合,則組裝完成的立體該如何稱呼?有幾個稜邊?該立體可數出幾個金字塔?

答案:合體的結構有八個面(5528),故稱為八面體。八面體有12個稜邊(8×3÷2),6個金字塔(即8×3÷4個頂點),由於該立體每個頂點的結構皆相同,符合正多面體的組成條件,因而又稱之為正八面體。

操作:利用正三邊形幾何教具,觀察並貼合完成在正八面體的每一個正三角形面上,皆凸出一個正三角錐的星狀立體。

教學:引導學生觀察完成的八星體結構,合計可以找出10個正三角錐(28小)。

3.〈大衛之星〉DIY叮嚀與挑戰:(黏貼、組合約30分鐘)
組裝:零件以24片圓內接正三角形對應面的結構,或以12片菱形對應稜邊的結構(圖四),略過正八星體的展開圖探討,直接組裝正八星體。

  

(圖四)組裝〈大衛之星〉的兩款DIY零件。


進階:a.配色挑戰~組裝時,同步觀察、搭配4種顏色、每色6片的正三角形位置,使得完成的正八星體的每個大三角面(即共平面結構)都能看到相同的顏色。

b.卡榫嵌扣~若統一依順時針或逆時針方向裁割正三角形三邊至中點,則在組裝時,不需使用雙面膠,便可嵌組出正八星體。

提醒:由於正三角形外接圓上弓形會有外翻與內摺的差異,故完成的立體造型會有如模型或繡球等不同的視覺效果(圖五)。至於卡榫組裝的操作,則建議將弓形內摺,另因半成品結構鬆散,故須花較多的時間拼組,但成型後結構堅挺。
  
   
(圖五)〈大衛之星〉組裝的外型變化。


4.「藝數」欣賞:(約5分鐘)
介紹分享兩款八星體結構設計的玩具:正四面體雙面魔術方塊與變色魔術球,詳見文末相關閱讀1~b

【相關閱讀】
遠哲科學教育基金會《發現》月刊/「動手玩科學」部落格:
1)《Math-Magics魔數》
d.〈包中包粽~趣味數學教學設計分享〉(2005.06)。
e.〈童話凹與凸〉(2003.09)。
f.〈游於藝〉(2002.11)。

2)《藝數家玩摺紙》




文.國立台灣師大附中數學科教師 彭良禎


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